Parmi les 32 polyores, 20 sont convexes et 12 sont concaves.
Le but de cet exercice est d’entourer chaque polyore convexe à l’aide de 10 bords-angles et de quelques bords droits ; parmi ces 20 polyores convexes, 12 ont des côtés qui mesurent soit 1, soit φ, comme ci-dessous :
Les 8 autres peuvent avoir un côté qui mesure 2, φ + 1 ou 2φ, comme ci-dessous:
Essayez d’entourer les 20 polyores convexes.
Exercice 2 :
Dans cet exercice, nous allons entourer les polyores concaves ; lorsque nous entourons le polyore ci-dessous, il y a un espace vide (hachuré dans le dessin a) :
Cet espace vide peut être rempli par 2 triangles unités d’aire 1 (dessin b) ou par un polyore d’aire 2 (dessin c).
2 est le degré de concavité de ce polyore ; nous dirons que ce polyore est 2-concave.
Dans l’exemple suivant, nous avons entouré le polyore (dessin a) mais l’espace vide a été rempli par 2 petits triangles noirs que l’on trouve sur le plateau de La Ora Stelo (dessin b):
Ces triangles ne sont pas des polyores donc nous devons trouver une autre clôture :
Le dessin c montre une autre clôture et, cette fois, l’espace vide peut être rempli par 2 triangles unités d’aire φ (dessin d) ou par un polyore d’aire 2φ (dessin e).
Ce polyore est 2φ-concave.
Essayez de trouver le degré de concavité des 12 polyores concaves.
Remarque : un polyore convexe est 0-concave.
Exercice 3 :
Reprenons le deuxième polyore entouré de l’exercice 1 mais maintenant comptons les bords-angles :
Si nous commençons à l’angle 3, dans le sens des aiguilles d’une montre, nous avons 3412 et, dans le sens inverse, 3214.
Si nous commençons à l’angle 4, nous avons 4123 ou 4321.
Si nous commençons à l’angle 1, nous avons 1234 ou 1432.
Si nous commençons à l’angle 2, nous avons 2341 ou 2143.
Nous obtenons 8 nombres ; le plus petit de ces 8 nombres est 1234 : nous dirons que ce polyore est un quadrilatère 1234.
1234 est son « code d’angles ».
Prenons un autre exemple avec le premier polyore entouré de l’exercice 1 :
En utilisant le même procédé, on trouve que son code d’angles est 1333.
Essayez de trouver le code d’angles des 12 polyores quadrilatères convexes.
Exercice 4 :
Si vous avez fait l’exercice 3 vous avez trouvé 7 codes d’angles différents.
Avant de passer à l’exercice 4, regardez les figures suivantes :
Ces figures viennent de l’exercice 2 ; ce sont respectivement un pentagone 12223 et un pentagone 12313 : ces figures sont formées de 2 polyores.
L’exercice 4 est de trouver deux quadrilatères convexes (obtenus à l’aide de 2 polyores chacun) avec comme codes d’angles 1243 et 2224.
Exercice 5 :
Essayez de trouver les codes d’angles des 4 polyores qui sont des triangles et des 4 polyores qui sont des pentagones convexes.
Exercice 6 :
! Cet exercice n’est pas possible en utilisant uniquement les bordures du kit 1. Il faudra attendre les autres kits. !
Le dessin ci-dessous montre un polyore concave avec sa clôture utilisant un angle de 216° :
Le but de cet exercice est d’entourer tous les polyores concaves ; avec celui qui est entouré ci-dessus, il y en a 12 en tout ; mais l’un d’entre eux a un angle de 324° et ne pourra pas être entouré.
